lunes, 20 de enero de 2014

NUMERACIÓN

Concepto: Parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, representación, lectura y escritura de los números, así como también de las diversas propiedades que se derivan a partir de ellos.

Número: Es un ente matemático que permite cuantificar los elementos que observamos en la naturaleza.
Numeral: Es la representación simbólica o figurativa de un número mediante determinados símbolos o guarismos convencionales.

Sistema Posicional de Numeración
 Es el conjunto de normas, leyes, principios, reglas convencionales que nos van a permitir la correcta formación, lectura y escritura de los números.

Principios Fundamentales

1.-Primer Principio: Del Orden
Toda cifra que conforma un numeral tiene asociado un orden, el cual se cuenta de derecha a izquierda a partir de uno, así como también tiene un lugar contando de izquierda a derecha y a partir de uno.

Por Ejemplo:





2.-Segundo Principio: De la Base
La base es un entero mayor que la unidad, el cual nos indica las unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden siguiente (Orden inmediato superior).

Por Ejemplo:
Sea 19 puntos simples, pasar a base 10, 7, 6, 5, 3, 2


Este procedimiento se puede abreviar de la siguiente manera









 


Luego se distingue lo siguiente 

                   25 = 2 x 71 + 5 x 70  = 19
                   31= 3 x 61 + 1 x 6019
                   34= 3 x 51 + 4 x 50= 19
                 201 = 2 x 32 + 0 x 31 + 1 x 30  = 19
             10011 2 = 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 19

Obsérvese que los exponentes de las bases van de orden decreciente empezando con una unidad menor que el número de cifras del numeral.

Ejemplo: El numeral de 100112 es 10011 y éste tiene 5 cifras, por tanto el primer exponente de su base sería 4 hasta llegar a cero como exponente de la base.

Indicar que todos estos valores son equivalentes por ello podemos igualar las expresiones de la siguiente manera:

  25 7 = 31 6                                 31 6 =  34 5                                10011 2 = 201 3                                        10011= 31 6

Se puede concluir:

a.- A menor representación mayor base y a mayor representación menor base.


b.- Las cifras que forman parte de un numeral son siempre un número entero no negativos y menor que sus respectivas bases.

3.-Tercer Principio: De la cifra.
Toda cifra que conforman el numeral es siempre menor que la base.

 Binario             2         0; 1
 Ternario           3         0; 1; 2
 Cuaternario      4         0; 1; 2; 3
 Quinario           5         0; 1; 2; 3; 4

4.-Cuarto Principio: Del valor de las cifras.

-Valor Absoluto (V. A.): Es la cantidad de unidades que representa por su apariencia.
-Valor Relativo (V. R.): Es el número total de unidades simples representa por el orden que ocupa en un numeral.

Por Ejemplo: Sea el número 68965.

   V.A.(6) = 6             V.A.(8) = 8              V.A.(9) = 9            V.A.(6) = 6             V.A.(5) =5                                  
   V.R.(6) = 6 x 104    V.R.(8) = 8 x 103    V.R.(9) = 9 x 102    V.R.(6)  = 6 x 101    V.R.(5) = 5 x 100   

Representación Literal de los Números:

En el caso de no conocer las cifras, estas se representan mediante letras minúsculas. 

Número de dos cifras en base 10.



Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.


La cifra de mayor orden es diferente de cero.


Número Capicúa:

Es aquel número cuya cifras equidistantes de los extremos son iguales.

Por Ejemplo:   11;  121;  1456541; 89688698.

Métodos para Expresar un Numeral en otro Sistema de Numeración Diferente:


1.-De base diferente de diez a base diez:

-Por descomposición Polinómica: Para expresar un número de base diferente de diez a la base diez, se procede descomponiendo polinómicamente el número dado de otra base.

389 11 = 3 x 112  + 8  x 111 + 9 x 110 = 460

 6358= 6 x 93  + 3  x 92 + 5 x 91+ 8 x 90  = 4670

-Por Método de Ruffini: Podemos utilizar el Método de Ruffini, para expresar dicho número de base diferente de diez a la base diez.


2.-De base diez a base diferente de diez:

-Por División de Sucesivas: Para pasar un número de la base 10 a una base diferente, dividiremos de la siguiente manera:

- Dividiremos el número entre la base requerida dejando residuo y cociente entero en su máxima expresión.

- Si el cociente de dicha división sigue siendo mayor que la base, a este cociente se le seguirá dividiendo entre dicha base dejando residuo y cociente entero en su máxima expresión.

- Si el cociente de esta nueva división sigue siendo mayor que la base se procederá de la misma manera que en el segundo caso hasta obtener valores menor que la base.

 Por Ejemplo:




3.-De base diferente a otra base diferente de diez.
Si se presenta este caso lo recomendable pasar el número de base diferente de diez a la base diez y luego este numero en base diez pasarlo a la base requeridad.



TEORÍA DE CONJUNTOS

Concepto: Se entenderá por conjunto a una reunión, colección o agrupación de objetos abstractos y/o concretos que pueden o no tener una característica común a las cuales llamaremos elementos del conjunto.

Notación de un Conjunto: Se les denota con las letras mayúsculas del abecedario y a sus elementos separados por comas y encerrados entre signos de colección.
Por Ejemplo

M= {a,e,i,o,u}
P={Los meses del año}

Relación de Pertenencia: Es una relación exclusiva sólo de elemento a conjunto. Si un elemento está en un conjunto diremos que pertenece y en caso contrario diremos No pertenece.
Determinación de un Conjunto:

-Por Extensión o Forma Tabular: Cuando sus elementos están indicados de forma explícita (indicados uno por uno).
Por Ejemplo:

Y=[4,6,8,10,12,14,16]

-Por Comprensión o Forma Constructiva: Es cuando se indica una propiedad o característica común de los elementos del conjunto.
Por Ejemplo:

Y=[2m / 1< m < 8; m ∈ Z]

Cardinal de un Conjunto n(A):
Nos determina el número de elementos (no repetitivos) que posee un conjunto.

Por Ejemplo:
A={1,1,3,3,3, 8,8,8,9} 
n (A) = 4 
 
Cuantificadores

Es el proceso de asignar uno o más valores a la variable de una función proposicional.

Cuantificador Universal  (∀)
Se denota por ∀ y se lee para todo.
Si P(x) es una función proposicional, ∀ x ∈ A, P(x) es una proposición que será verdadera cuando todos los valores x de A se cumpla P(x).

Por Ejemplo:

A = {2, 4, 6, 8}.
P(x) = x es un número par.
P(y) = 3y - 2 > 4

Luego:
 ∀ x ∈ A: x es un número par      (V)
 ∀ x ∈ A: 3y - 4 > 4                    (F) 

Cuantificador Existencial (Ǝ)
Se denota por Ǝ y se lee existe por lo menos uno. Si P(x) es una función proposicional, Ǝ x ∈A / P(x) es una proposición que será verdadera, si existe por lo menos un elemento x de A que cumpla P(x)-

Por Ejemplo:

B = {1, 4, 5, 7}
P(x) = x es un número impar.
P(y) = (y - 4)^2 = 4

Luego:
 Ǝ x ∈ B: x es un número par    (V)
 Ǝ x ∈ B:  (y-4)^2 = 4              (F)

Negación de los Cuantificadores: 

En general se cumple:

~ x∈A/ P(x)] ­­≡ x∈A: ~P(x)
~ [x∈A/ P(x)] ­­≡ Ǝ x∈A: ~P(x)

Relación entre Conjuntos:

Inclusión:
Sean A y B dos conjuntos: Decimos que A está contenido en B (A es un Subconjunto de B) Si todo elemento de A es también elemento de B.

 A⊂ B ↔ (∀x∈A→ x∈B)

Graficamente:


















 Igualdad (=)
Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A es igual a B si dicho conjunto poseen los mismos elementos.
Matematicamente se define
 A=B A⊂ B ˄  B⊂A 

Conjuntos Disjuntos
Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen algún elemento en común.

Coordinables o Equipotenciales
Dos conjuntos A y B son coordinables cuando es posible establecer una correspondencia, una a uno, entre todos y cada uno de sus elementos.

                                                       Conjuntos Especiales

Vacío o Nulo: Es aquel conjunto que carece de elementos, es llamado también conjunto de dos absurdos o de los imposibles.
Notación:
                ɸ ;{} 

Unitario o Singletón (Singular): Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Universal: Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados.

Conjunto Potencia: El conjunto potencia de A, llamado también conjunto de partes de A es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles que posee el conjunto A.
Notación:
                 P(A)
Se lee: Conjunto potencia de A.
Por Ejemplo:
 A= {x;y}
 P(A)={ɸ;{x};{y};{x,y}}
 n[P(a)]=4=2^2
Los subconjuntos ɸ;{x};{y} son denominados propios


El número de subconjuntos de A = n[P(A)]= 2^(n(A))
y
El número de subconjuntos propios de A= 2^n(A)  -1
   
Par Ordenado: Es un arreglo de dos elementos para los cuales se considera el orden en que están indicados.
Notación:
                (a,b)
Se lee par ordenado a,b
a: La primera componente.
b: La segunda componente.
Propiedad: Dos pares ordenados son iguales si sus respectivos componentes también lo son.
                  (a,b)  (c,d) a=c ˄  b=d

Diagramas de Conjunto

Los diagramas nos permiten representar, en forma gráfica a los conjuntos.

Diagramas de Venn-Euler
Son figuras geométricas cerradas que representan a los conjuntos, en cuyo interior se ubican cada uno de sus elementos o la cantidad de elementos.
  
Diagrama de Lewis-Carrol:
Son similares a los diagramas de Venn-Euler, son figuras rectangulares las cuales permiten representar a los conjuntos disjuntos o a los conjuntos con sus respectivos complementos.

Diagrama Lineal:
Es la representación de dos o mas conjuntos comparables, utilizando segmentos de recta para representar la relación de inclusión entre conjuntos.

Operaciones entre Conjuntos

Unión (U)
Dados los conjuntos A y B, la unión de ellos es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto A y al conjunto B.
 
      A∪B= {x/ x∈A ˅ x∈B}

Graficamente:
Intersección ():
Dado los conjuntos A y B, la intersección de ellos es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto A y al conjunto B

       AB= {x/ x∈A ˄ x∈B}

Graficamente:

Diferencia (-): 
Dado los conjuntos A y B, la diferencia de ellos es aquel conjunto cuyos elementos pertenezcan a A, pero no a B.
       A-B= {x/ x∈A ˄ x∉B}
  Graficamente:



Diferencia Simétrica (Δ):
Dado los conjuntos A y B, la diferencia simétrica es el conjuntos cuyos elementos pertenecen solamente a A o B.


       AΔB={x/x∈ (A-B) ˅ x∈(B-A)}

 Graficamente:




Complemento (A): 
Dado un conjunto A, el complemento de A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero no al conjunto A.
         A ={x/x∈U ˄  x∉A}= U-A

Notación:
                A∁  , A' , Ā
Graficamente:



 Leyes del Álgebra de Conjuntos


 

LÓGICA PROPOSICIONAL

Definición: Parte de la lógica que tiene por objeto de estudio la proposición y la relación entre ellas.

Proposición Lógica (enunciado cerrado): Significado de una expresión aseverativa que se caracteriza por tener un solo un valor veritativo (que puede ser verdadero o falso).

Función Proposicional (enunciado abierto o cuasi proposiciones): Son aquellos enunciados que tienen una o más variables y son expresados en símbolos matemáticos o palabras.

Conectivos Lógicos: También llamados operadores o constantes, son palabra o términos que enlazan proposiciones simples o niegan una proposición.


Proposiciones Compuestas Básicas 

1.- Proposición Conjuntiva o Conjunción: Son proposiciones que se enlazan mediante el conectivo lógico "y". Tiene el sentido de afirmar que son simultanea mente verdaderas. 

2.- Proposición Disyuntiva o Disyunción: Son proposiciones que se enlazan mediante el conectivo lógico "o". Se divide en dos:
  • Inclusiva o Débil.-Es aquella en la cual se considera posibles ocurrencias simultáneas o individuales de las proposiciones componentes.
  • Exclusiva o Fuerte.- Esta excluye la posibilidad de ocurrencia simultánea de ambas proposiciones.  
 3.  Proposición Condicional: Son proposiciones que se enlazan mediante el conectivo lógico si...entonces". El sentido de este conectivo que si l proposición antecedente es verdadera también lo es la proposición consecuente.

 4.  Proposición Bicondicional: Son proposiciones que se enlazan mediante el conectivo  lógico "si y solo si". Al relacionar dos proposiciones indica que el valor de verdad de ambas es el mismo ya sea verdadero o falso.                            

 5.   Proposición Negativa o Negación: Hace uso del adverbio negativo NO. Niega las proposiciones.

Tabla de Verdad: Muestra el valor de verdad de una proposición simple o compuesta.


  Esquema Molecular o Formula Proposicional
 
Proposiciones compuestas no básicas, es decir es la combinación de variables proposicionales, conectivos lógicos y signos de agrupación.

  Evaluación de un Esquema Molecular mediante Tabla de verdad: Consiste en obtener los valores del   contenido a partir de los valores de cada una de las variables proposicionales.
  Por Ejemplo:       


  Clasificación de los Esquemas Moleculares: Según los valores obtenidos en la matriz principal, se       clasifican en:

  Tautología : Cuando los valores de verdad de la matriz principal resultan ser todos verdaderos.

 
Contradictorio: Cuando los valores de la matriz principal son todos falsos.


Consistente Contingente: Cuando en la matriz principal hay por lo menos un valor verdadero o un valor falso.


 
Relaciones entre Proposiciones

Implicación Lógica: Si la condicional A entonces B es una tautología se dice que A implica lógicamente B
Equivalencia Lógica: Si la bicondicional A si y solo si B es una tautología se dice que A es lógicamente equivalente a B.

Leyes de la Lógica Proposicional
Entre esta tenemos:





































Circuitos Lógicos (Booleanos)

Un circuito eléctrico es un ensamblaje de interruptores automáticos que permiten el paso de la corriente eléctrica, o la interrumpen.
Se puede representar un interruptor mediante una proposición "p", y viceversa, de modo que identifique el valor verdadero de la proposición p con el paso de la corriente.


V: Verdadero, si pasa la corriente en el circuito.
F: falso, no pasa la corriente en el circuito o estará interrumpido el paso de la corriente.

Nota:Cuando está  pasando la corriente denotaremos esta situación con el valor  V ó sino con el numero 1; y cuando no circule la corriente denotaremos esta situación con el valor de F ó sino con el numero 0. Es precisamente en la base a estos dos valores 0 y 1 en los que se fundamente la teoría del funcionamiento de las calculadora electrónicas, microcomputadoras, computadoras.

Circuito en Serie
Son aquellos provistos de dos interruptores p y q conectados en Serie.


De modo que en todo el circuito pasará la corriente solamente en el caso en que ambos "p"  y  "q" se encuentren cerrados (se le indica con el valor de 1).Basta que uno de ellos este abierto (0) para que no circule la corriente en todo el circuito.

Circuito en Paralelo
Son aquellos circuitos provistos de dos interruptores "p"  y  "q" conectados en paralelos.


De modo que para que circule la corriente en el circuito es suficiente que alguno de los interruptores "p" o "q" estén cerrados (1) y solamente dejará de circular corriente si ambos están abiertos(ambos 0).