TEORÍA DE CONJUNTOS

Concepto: Se entenderá por conjunto a una reunión, colección o agrupación de objetos abstractos y/o concretos que pueden o no tener una característica común a las cuales llamaremos elementos del conjunto.

Notación de un Conjunto: Se les denota con las letras mayúsculas del abecedario y a sus elementos separados por comas y encerrados entre signos de colección.
Por Ejemplo

M= {a,e,i,o,u}
P={Los meses del año}

Relación de Pertenencia: Es una relación exclusiva sólo de elemento a conjunto. Si un elemento está en un conjunto diremos que pertenece y en caso contrario diremos No pertenece.

Determinación de un Conjunto:

-Por Extensión o Forma Tabular: Cuando sus elementos están indicados de forma explícita (indicados uno por uno).
Por Ejemplo:

Y=[4,6,8,10,12,14,16]

-Por Comprensión o Forma Constructiva: Es cuando se indica una propiedad o característica común de los elementos del conjunto.
Por Ejemplo:

Y=[2m / 1< m < 8; m ∈ Z]

Cardinal de un Conjunto n(A):
Nos determina el número de elementos (no repetitivos) que posee un conjunto.

Por Ejemplo:

A={1,1,3,3,3, 8,8,8,9} 

n (A) = 4 
 

Cuantificadores

Es el proceso de asignar uno o más valores a la variable de una función proposicional.

Cuantificador Universal  (∀)
Se denota por ∀ y se lee para todo.
Si P(x) es una función proposicional, ∀ x ∈ A, P(x) es una proposición que será verdadera cuando todos los valores x de A se cumpla P(x).

Por Ejemplo:

A = {2, 4, 6, 8}.
P(x) = x es un número par.
P(y) = 3y - 2 > 4

Luego:
 ∀ x ∈ A: x es un número par      (V)
 ∀ x ∈ A: 3y - 4 > 4                    (F) 

Cuantificador Existencial (Ǝ)
Se denota por Ǝ y se lee existe por lo menos uno. Si P(x) es una función proposicional, Ǝ x ∈A / P(x) es una proposición que será verdadera, si existe por lo menos un elemento x de A que cumpla P(x)-

Por Ejemplo:

B = {1, 4, 5, 7}
P(x) = x es un número impar.
P(y) = (y - 4)^2 = 4

Luego:
 Ǝ x ∈ B: x es un número par    (V)
 Ǝ x ∈ B:  (y-4)^2 = 4              (F)

Negación de los Cuantificadores: 

En general se cumple:

~ [Ǝ x∈A/ P(x)] ­­≡ ∀ x∈A: ~P(x)
~ [∀ x∈A/ P(x)] ­­≡ Ǝ x∈A: ~P(x)

Relación entre Conjuntos:

Inclusión:
Sean A y B dos conjuntos: Decimos que A está contenido en B (A es un Subconjunto de B) Si todo elemento de A es también elemento de B.

 A⊂ B ↔ (∀x∈A→ x∈B)

Graficamente:

 Igualdad (=)

Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A es igual a B si dicho conjunto poseen los mismos elementos.

Matematicamente se define
 A=B ↔A⊂ B ˄  B⊂A 

Conjuntos Disjuntos
Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen algún elemento en común.

Coordinables o Equipotenciales
Dos conjuntos A y B son coordinables cuando es posible establecer una correspondencia, una a uno, entre todos y cada uno de sus elementos.

                                                       Conjuntos Especiales

Vacío o Nulo: Es aquel conjunto que carece de elementos, es llamado también conjunto de dos absurdos o de los imposibles.
Notación:
                ɸ ;{} 

Unitario o Singletón (Singular): Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Universal: Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados.

Conjunto Potencia: El conjunto potencia de A, llamado también conjunto de partes de A es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles que posee el conjunto A.
Notación:
                 P(A)
Se lee: Conjunto potencia de A.
Por Ejemplo:
 A= {x;y}
 P(A)={ɸ;{x};{y};{x,y}}
 n[P(a)]=4=2^2
Los subconjuntos ɸ;{x};{y} son denominados propios

El número de subconjuntos de A = n[P(A)]= 2^(n(A))

y

El número de subconjuntos propios de A= 2^n(A)  -1

   

Par Ordenado: Es un arreglo de dos elementos para los cuales se considera el orden en que están indicados.
Notación:
                (a,b)
Se lee par ordenado a,b
a: La primera componente.
b: La segunda componente.
Propiedad: Dos pares ordenados son iguales si sus respectivos componentes también lo son.
                  (a,b)  =  (c,d) ↔ a=c ˄  b=d

Diagramas de Conjunto

Los diagramas nos permiten representar, en forma gráfica a los conjuntos.

Diagramas de Venn-Euler
Son figuras geométricas cerradas que representan a los conjuntos, en cuyo interior se ubican cada uno de sus elementos o la cantidad de elementos.
  
Diagrama de Lewis-Carrol:

Son similares a los diagramas de Venn-Euler, son figuras rectangulares las cuales permiten representar a los conjuntos disjuntos o a los conjuntos con sus respectivos complementos.

Diagrama Lineal:

Es la representación de dos o mas conjuntos comparables, utilizando segmentos de recta para representar la relación de inclusión entre conjuntos.

Operaciones entre Conjuntos

Unión (U)

Dados los conjuntos A y B, la unión de ellos es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto A y al conjunto B.

 

      A∪B= {x/ x∈A ˅ x∈B}

Graficamente:

Intersección (∩):
Dado los conjuntos A y B, la intersección de ellos es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto A y al conjunto B

       A∩B= {x/ x∈A ˄ x∈B}

Graficamente:

Diferencia (-): 
Dado los conjuntos A y B, la diferencia de ellos es aquel conjunto cuyos elementos pertenezcan a A, pero no a B.

       A-B= {x/ x∈A ˄ x∉B}

  Graficamente:

Diferencia Simétrica (Δ):
Dado los conjuntos A y B, la diferencia simétrica es el conjuntos cuyos elementos pertenecen solamente a A o B.


       AΔB={x/x∈ (A-B) ˅ x∈(B-A)}

 Graficamente:

Complemento (A^∁): 
Dado un conjunto A, el complemento de A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero no al conjunto A.
         A^∁ ={x/x∈U ˄  x∉A}= U-A

Notación:
                A^∁  , A^' , Ā
Graficamente:

 Leyes del Álgebra de Conjuntos